Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo represente, siempre se usa una letra mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de elementos.
Notación de conjuntos
Se utilizarán las letras mayúsculas, tales como A, B y C para nombrar conjuntos. Por ejemplo:
Es bastante corriente dibujar los conjuntos esquemáticamente, una simple curva cerrada representa el conjunto y en su interior se disponen todos los elementos que pertenecen a él. A estos esquemas se les denomina diagramas de Venn.
A cada objeto de un conjunto se le llama elemento de él. Se dice que dicho elemento pertenece al conjunto. Simbólicamente:
Conjunto Vacío
Un conjunto que carece de elementos se llama conjunto vacío. Pero, ¿existen conjuntos vacíos?. ¿Cómo se podrían determinar? Consideremos el conjunto A formado por todos los triángulos de cuatro lados. ¿Está bien determinado?. ¡Sí! : Podemos saber exactamente si un objeto le pertenece o no. Sabemos que ningún triángulo tiene cuatro lados. Por lo tanto este conjunto no tiene ningún elemento. Es un ejemplo de conjunto vacío.
El conjunto B de los números “x” que cumplen : x + 5 = x + 3 , ¿es un conjunto vacío? Sí, porque no existe un número que cumpla esa condición.
Formas de determinar un conjunto
Ya hemos visto dos formas de determinación de conjuntos. Una forma gráfica (llamada: diagramas de Venn) y otra listando todos sus elementos entre corchetes (llamada: por extensión).
Veamos algunos inconvenientes de estas formas. Si un conjunto tiene 4789 elementos, su representación por diagramas o extensión es posible, pero poco práctica. Peor aún, si el conjunto que se quiere determinar es infinito, su representación no sería posible. Existe una tercer forma denominada “por comprensión” que es especialmente adecuada para representar conjuntos infinitos.
¿Qué significa determinar un conjunto por comprensión?
Por ejemplo, el conjunto {números pares} está bien determinado porque podemos decidir si un número pertenece o no a él; y además es un conjunto infinito. No se nombran uno a uno sus elementos sino que se da una propiedad común a todos ellos y a ningún otro. Esto es representar un conjunto por comprensión. Hasta ahora se han proporcionado unos pocos ejemplos. ¿En cuál de los ejemplos anteriores, el conjunto está determinado por comprensión?
Notación para conjuntos determinados por comprensión
Diremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Es decir, A=B , sí y sólo si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.
- Si A = B , las letras A y B son nombres distintos para el mismo conjunto.
- Existe un único conjunto vacío.
- Los conjuntos (a , b , c) , (a , a , b , b , c , c) y (a , a , c , b , a , c) son él mismo conjunto. (Los tres tienen los mismos elementos. Por lo tanto no es útil repetir elementos en la escritura por extensión y tampoco es importante el orden en que se escriben).
Inclusión de Conjuntos
Considere el siguiente ejemplo:
Todos los elementos de A son también elementos del conjunto B. Diremos que A está incluido en B. También decimos que A es subconjunto o parte de B. En este caso en particular estamos hablando de inclusión estricta.
Operaciones de Conjuntos
En aritmética se estudian operaciones entre números, (Adición, Sustracción, etc.). La operación numérica de sumar hace corresponder a cada par de números, a, b, un nuevo número (a+b) que es su suma (resultado de la operación de sumar). También es posible operar con conjuntos. En este caso, el resultado de operar dos conjuntos será un nuevo conjunto. Definiremos algunas de las operaciones posibles: Unión, Intersección, Diferencia, Complemento, Diferencia Simétrica y Producto Cartesiano.
Un elemento pertenece a la unión de A y B si está en A o si está en B. Es decir, es suficiente que sea elemento de alguno de los dos.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B (y se anota A B) al conjunto cuyos elementos son los que pertenecen a la vez a A y a B.
Integrantes:
Sharen Vargas.
Rosalía Rivera.
Luis Carlos Díaz.
Definición de Inclusión: Amplia y Estricta.
ResponderEliminarSi todo elemento de A está en B decimos que A está incluido ampliamente en B.
Pero, si además, existe algún elemento de B que no esté en A entonces la inclusión
será estricta.
Ejemplo:
A = {x/ x es múltiplo de 6}
B = {x/ x es múltiplo de 2}
Todo múltiplo de 6 es también un múltiplo de 2 ya que:
6 = 6 . n
6 = (2.3). n = 2 .( 3.n) = 2.m = 2
(donde n es un natural y por lo tanto m también).
Pero no todo múltiplo de 2 es un múltiplo de 6. Por ejemplo 2, 4, 8 etc.
Como todo elemento de A está en B y hay elementos de B que no están en A
podemos decir que A está estrictamente incluido en B.
Método de doble inclusión:
Si queremos saber si un conjunto “A” es igual a otro “B” podemos intentar verificar si
uno está incluido en el otro y viceversa.
A c B quiere decir que todo elemento de A, está también en B.
B c A quiere decir que todo elemento de B, está también en A.
Por lo tanto, si estás inclusiones se cumplen simultáneamente, quiere decir que A y B
tienen los mismos elementos y entonces son iguales.
Ejemplo:
Indicar si son iguales o no los conjuntos de cada uno de los siguientes pares,
explicando brevemente por qué en cada caso:
i) A = {x / x es abuelo o abuela de Juan},
B ={x / x es padre o madre de algún tío de Juan};
(Se supone que Juan tiene tíos paternos y maternos).
ii) A ={x / x es latinoamericano}.
B ={x / x es americano de habla española};
iii) A ={x / x es cuadrilátero de diagonales congruentes},
B ={x / x es rectángulo};
Nota:
Si lo que se quiere demostrar es que dos conjuntos son distintos, es suficiente con que
una de las dos inclusiones no sea cierta.
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ResponderEliminarEl conjunto vacío tiene las siguientes propiedades generales:
ResponderEliminarEl conjunto vacío es único: dado dos conjuntos sin elementos, ambos son iguales. (Esto justifica hablar de "el conjunto vacío" y no de "un conjunto vacío").
El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo.
El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero; en particular, el conjunto vacío es un conjunto finito.
Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:
Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como "ser mortal" o "ser un número primo"). Entonces todos los elementos del conjunto vacío poseen esa propiedad.
Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir "todo hombre en Ø; es inmortal" es lo mismo que afirmar que "no hay ningún hombre mortal en Ø", y esto último es trivialmente cierto.
Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos.
En mi carrera Arquitectura y diseño de interiores, los conjuntos se usan al momento que interceptamos cubos con otros, etc.
estructuras algebraicas: un conjunto y una o mas operaciones definidas en él constiyuyen una estructura algebraica, las principales son:grupo anillo y cuerpo.
ResponderEliminarGrupo: dado el conjunto A en el que este definida una operación * para que sea un grupo debe cumplirse que* sea:
1 ley de composición interna(aplicando la operaión* el resultado pertenece al conjunto dado).
2 asosiativa.
3existe elemento neutro y es único;
4 todo elemento posee un elemento simétrico con respecto a la operacón.
El conjunto de los números enteros con la suma es un grupo.
.si ademas la operación cumple con la propiedad conmutativa ,el grupo es conmutativo o abeliano.
el conjunto de los números enteros es un grupo conmutativo o abeliano..
Complemento de un conjunto:
ResponderEliminarSe buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial. Por ejemplo:
A´= {4, 5, 6, 7}
B´= {-1, 1, 3, 5, 7, 8}
C´= {-1, 1, 2, 3, 6,}
(A u B)´={5, 7, 8}